xf.kr d{kk 10 ds fy, ikB~;iqLrd
ISBN 81-7450-646-2
izFke laLdj.k tuojh 2007 ek?k 1928 iqueqæZ .k vDrwcj 2007 dk£rd 1929 tuojh 2009 ikS"k 1930 fnlacj 2009 ikS"k 1931 uoacj 2010 dkfrZd 1932 tuojh 2012 ikS"k 1933 fnlacj 2012 vxzgk;.k 1934 vDrwcj 2013 vkf'ou 1935 PD 60T RA
© jk"Vªh; 'kSf{kd vuql/ a ku vkSj izf'k{k.k
ifj"kn~ ] 2007
` 115.00
,u-lh-bZ-vkj-Vh- okVjekoZQ 80 th-,l-,eisij ij eqfnzrA izdk'ku izHkkx esa lfpo] jk"Vªh; 'kSf{kd vuqla/ku vkSj izf'k{k.k ifj"kn~] Jh vjfoan ekxZ] u;h fnYyh 110 016 }kjk izdkf'kr rFkk vkuan cnZl] lh&146] ukjk;.kk b.MfLVª;y ,fj;k] isQl&I u;h fnYyh&110028 }kjk eqfnzrA
lokZf/dkj lqjf{kr q
q
q
izdk'kd dh iwoZ vuqefr osQ fcuk bl izdk'ku osQ fdlh Hkkx dks Nkiuk rFkk bysDVªkWfudh] e'khuh] iQksVksizfrfyfi] fjdkWfMZ±x vFkok fdlh vU; fof/ ls iqu% iz;ksx i¼fr }kjk mldk laxzg.k vFkok izlkj.k oftZr gSA bl iqLrd dh fcØh bl 'krZ osQ lkFk dh xbZ gS fd izdk'kd dh iwoZ vuqefr osQ fcuk ;g iqLrd vius ewy vkoj.k vFkok ftYn osQ vykok fdlh vU; izdkj ls O;kikj }kjk m/kjh ij] iqufoZØ; ;k fdjk, ij u nh tk,xh] u csph tk,xhA bl izdk'ku dk lgh ewY; bl i`"B ij eqfæzr gSA jcM+ dh eqgj vFkok fpidkbZ xbZ iphZ (fLVdj) ;k fdlh vU; fof/ }kjk vafdr dksbZ Hkh la'kksf/r ewY; xyr gS rFkk ekU; ugha gksxkA
,u lh bZ vkj Vh osQ izdk'ku izHkkx osQ dk;kZy; ,u-lh-bZ-vkj-Vh- oSaQil Jh vjfoan ekxZ u;h fnYyh 110 016
iQksu % 011&26562708
108] 100 iQhV jksM gsyh ,DlVsas'ku] gksLMsosQjs cuk'kadjh III bLVst cSaxyq# 560 085
iQksu % 080&26725740
uothou VªLV Hkou Mkd?kj uothou vgenkckn 380 014
iQksu % 079&27541446
lh-MCY;w-lh- oSaQil fudV% /udy cl LVkWi ifugVh dksydkrk 700 114
iQksu % 033&25530454
lh-MCY;w-lh- dkWEIySDl ekyhxkao xqokgkVh 781021
iQksu % 0361&2674869
izdk'ku lg;ksx vè;{k] izdk'ku izHkkx % eq[; mRiknu vfèkdkjh % eq[; O;kikj izca/d % eq[; laiknd (Lkafonk lsok) % laiknd % mRiknu vfèkdkjh %
v'kksd JhokLro f'ko oqQekj xkSre xkaxqyh ujs'k ;kno js[kk vxzoky v#.k fprdkjk
lTtk ,oa vkoj.k 'osrk jko
fp=kkadu yfyr oqQekj ekS;kZ
vkeq[k
jk
"Vªh; ikB~;p;kZ dh :ijs[kk (2005) lq>krh gS fd cPpksa ds LowQyh thou dks ckgj ds thou ls tksMk+ tkuk pkfg,A ;g fl¼kar fdrkch Kku dh ml fojklr ds foijhr gS ftlds izHkkoo'k gekjh O;oLFkk vkt rd LowQy vkSj ?kj ds chp varjky cuk, gq, gSA ubZ jk"Vªh; ikB~;p;kZ ij vkèkkfjr ikB~;Øe vkSj ikB~;iqLrdsa bl cqfu;knh fopkj ij vey djus dk iz;kl gSAa bl iz;kl esa gj fo"k; dks ,d eT+kcwr nhokj ls ?ksj nsus vkSj tkudkjh dks jVk nsus dh izof` Ùk dk fojks/ 'kkfey gSA vk'kk gS fd ;s dne gesa jk"Vªh; f'k{kk uhfr (1986) esa of.kZr cky&osQa fær O;oLFkk dh fn'kk esa dki+Qh nwj rd ys tk,¡xAs bl iz;Ru dh liQyrk vc bl ckr ij fuHkZj gS fd LowQyksa ds izkpk;Z vkSj vè;kid cPpksa dks dYiuk'khy xfrfof/;ksa vkSj lokyksa dh enn ls lh[kus vkSj lh[kus ds nkSjku vius vuqHko ij fopkj djus dk volj nsrs gSaA gesa ;g ekuuk gksxk fd ;fn txg] le; vkSj vkt+knh nh tk, rks cPps cM+ksa }kjk lkSaih xbZ lwpuk&lkexzh ls tqM+dj vkSj tw>dj u, Kku dk l`tu djrs gSaA f'k{kk ds fofo/ lk/uksa o lzksrksa dh vusn[kh fd, tkus dk izeq[k dkj.k ikB~;iqLrd dks ijh{kk dk ,dek=k vk/kj cukus dh izo`fÙk gSA ltZuk vkSj igy dks fodflr djus ds fy, t+:jh gS fd ge cPpksa dks lh[kus dh izfØ;k esa iwjk Hkkxhnkj ekusa vkSj cuk,¡] mUgsa Kku dh fu/kZfjr [kqjkd dk xzkgd ekuuk NksM+ nsaA ;s mn~ns'; LowQy dh nSfud ft+anxh vkSj dk;Z'kSyh esa dki+Qh isQjcny dh ek¡x djrs gSaA nSfud le;&lkj.kh esa yphykiu mruk gh t+:jh gS ftruk okf"kZd dSysaMj osQ vey esa pqLrh] ftlls f'k{k.k osQ fy, fu;r fnuksa dh la[;k gdhdr cu ldsA f'k{k.k vkSj ewY;kadu dh fof/;k¡ Hkh bl ckr dks r; djsaxh fd ;g ikB~;iqLrd LowQy esa cPpksa osQ thou dks ekufld ncko rFkk cksfj;r dh txg [kq'kh dk vuqHko djus esa fdruh izHkkoh fl¼ gksrh gSA cks> dh leL;k ls fuiVus osQ fy, ikB~;Øe fuekZrkvksa us fofHkUu pj.kksa esa Kku dk iqufuZ/kZj.k djrs le; cPpkas ds euksfoKku ,oa vè;kiu osQ fy, miyC/ le; dk è;ku j[kus dh igys ls vf/d lpsr dksf'k'k dh gSA bl dksf'k'k dks vkSj xgjkus ds ;Ru esa ;g ikB~;iqLrd lksp&fopkj vkSj foLe;] NksVs lewgksa esa ckrphr ,oa cgl vkSj gkFk ls dh tkus okyh xfrfof/;ksa dks izkFkfedrk nsrh gSA
(iv)
,u-lh-bZ-vkj-Vh- bl iqLrd dh jpuk osQ fy, cukbZ xbZ ikB~;iqLrd fuekZ.k lfefr ds ifjJe ds fy, ÑrKrk O;Dr djrh gSA ifj"kn~ foKku ,oa xf.kr ds lykgdkj lewg osQ vè;{k izksi+Qslj t;ar fo".kq ukjyhdj vkSj bl iqLrd dh eq[; lykgdkj bafnjk xk¡/h jk"Vªh; eqDr fo'ofo|ky; dh izksi+sQlj ih- flaDys;j ,oa y[kuÅ fo'ofo|ky; osQ iwoZ izksi+sQlj th-ih- nhf{kr dh fo'ks"k vkHkkjh gSA bl ikB~;iqLrd osQ fodkl esa dbZ f'k{kdksa us ;ksxnku fn;k_ bl ;ksxnku dks laHko cukus osQ fy, ge muds izkpk;ks± osQ vkHkkjh gSAa ge mu lHkh laLFkkvksa vkSj laxBuksa osQ izfr ÑrK gSa ftUgksua s vius lalk/uksa] lkexzh rFkk lg;ksfx;ksa dh enn ysus esa gesa mnkjrkiwoZd lg;ksx fn;kA ge fo'ks"k :i ls ekè;fed ,oa mPprj f'k{kk foHkkx] ekuo lalk/u fodkl ea=kky; }kjk izkis + sQlj e`.kky ehjh vkSj izksi+sQlj th- ih- ns'kikaMs dh vè;{krk esa xfBr jk"Vªh; fujh{k.k lfefr }kjk iznÙk cgqewY; le; ,oa ;ksxnku ds fy, Hkh ÑrK gSaA O;oLFkkxr lq/kjksa vkSj vius izdk'kuksa esa fujarj fu[kkj ykus ds izfr lefiZr ,u-lh-bZ-vkj-Vh- fVIif.k;ksa o lq>koksa dk Lokxr djsxh ftuls Hkkoh la'kks/uksa esa enn yh tk losQA u;h fnYyh 20 uoacj 2006
funs'kd jk"Vªh; 'kSf{kd vuqla/ku vkSj izf'k{k.k ifj"kn~
izLrkouk
dks
Bkjh vk;ksx osQ xBu osQ le; ls gh vusd lfefr;k¡ fo|ky;&ikB~;Øe dks f'k{kkfFkZ;ksa osQ fy, vFkZi.w kZ vkSj jkspd cukus osQ fy, u;h&u;h fof/;ksa dk irk yxkrh vk jgh gSA o"kks± osQ fodflr Kku osQ vk/kj ij ^jk"Vªh; ikB~;p;kZ :ijs[kk* (,u-lh-,iQ-) dks vfre a :i 2005 esa fn;k x;kA bl iz;kl esa ljdkj us xf.kr osQ f'k{k.k ls lacfa /r ,d ^jk"Vªh; iQksdl lewg* dk xBu fd;kA 2005 esa tkjh dh xbZ jk"Vªh; iQksdl lewg us viuh fjiksVZ esa xf.kr osQ vè;kiu vkSj vf/xeu dks vf/d mÙke cukus osQ fy, ,d jpukRed n`f"Vdks.k izLrqr fd;kA bl n`f"Vdks.k dk lkj ;gh gS fd LowQy esa izos'k ikus ls igys gh cPps ftl xf.kr dks vius ifjos'k esa iz;ksx djrs jgrs gSa] mlls os LokHkkfod :i ls ifjfpr gks tkrs gSaA ikB~;Øe] f'k{k.k] n`f"Vdks.k] ikB~;iqLrdksa bR;kfn dk fuekZ.k bl Kku osQ vk/kj ij bl izdkj gksuk pkfg, ftlls fd cPps xf.kr dk vkuan mBk ldsa vkSj ;g le> losaQ fd xf.kr lw=kksa vkSj dyu&fofèk;ksa dks ykxw djus osQ {ks=k dh vis{kk dgha vf/d roZQ nsus dh ,d fof/ gSA fo|kfFkZ;ksa vkSj vè;kidksa dks pkfg, fd os xf.kr dks ,d LokHkkfod vkSj vius vkl ikl ls tqM+h ?kVukvkas osQ :i esa le>us dk iz;kl djsaA xf.kr i fy;k gksxk fd ;g yach foHkktu izfØ;k osQ vfrfjDr oqQN Hkh ugha gS] ftls vki brus o"kks± rd djrs pys vk, gSa rFkk q vkSj r dks Øe'k% HkkxiQy (quotient) vkSj 'ks"kiQy (remainder) dgk tkrk gSA. bl ifj.kke dk vkSipkfjd dFku fuEufyf[kr gS% ize; s 1.1 (;wfDyM foHkktu izesf;dk) : nks /ukRed iw.kk±d a vkSj b fn, jgus ij] ,slh vf}rh; iw.kZ la[;k,¡ q vkSj r fo|eku gSa fd a = bq + r, 0 ≤ r < b gSA bl ifj.kke dh tkudkjh laHkor% cgqr igys le; ls Fkh] ijarq fyf[kr :i esa bldk loZiFz ke mYys[k ;wfDyM ,yhesVa l ~ (Euclid's Elements) dh iqLrd VII esa fd;k x;kA ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe (dyu fof/) blh izesf;dk
(Lemma) ij
vk/kfjr gSA
,YxksfjFe lqifjHkkf"kr pj.kksa dh ,d Ük`a[kyk gksrh gS] tks ,d fo'ks"k izdkj dh leL;k dks gy djus dh ,d izfØ;k ;k fof/ iznku djrh gSA 'kCn ^,YxksfjFke* 9oha 'krkCnh osQ ,d iQkjlh xf.krK vy&[okfjT+keh osQ uke ls fy;k x;k gSA okLro esa] 'kCn ^,ytcjk* (Algebra) Hkh bUgha dh fyf[kr iqLrd ^fglkc vy&T+kcj ok vy eqdkcyk* ls fy;k x;k gSA eqgEen bCu ewlk vy&[okfjT+keh izesf;dk ,d fl¼ fd;k gqvk dFku gksrk gS (780 – 850 bZ-) vkSj bls ,d vU; dFku dks fl¼ djus esa iz;ksx djrs gSAa ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe nks /ukRed iw.kk±dksa dk HCF ifjdfyr djus dh ,d rduhd gSA vkidks ;kn gksxk fd nks /ukRed iw.kk±dksa a vkSj b dk HCF og lcls cM+k iw.kk±d d gS] tks a vkSj b nksuksa dks (iw.kZr;k) foHkkftr djrk gSA
5
okLrfod la[;k,¡
vkb, lcls igys ,d mnkgj.k ysdj ns[ksa fd ;g ,YxksfjFe fdl izdkj dk;Z djrk gSA eku yhft, gesa iw.kk±dksa 455 vkSj 42 dk HCF Kkr djuk gSA ge cM+s iw.kk±d 455 ls izkjaHk djrs gSaA rc ;wfDyM izesf;dk ls] gesa izkIr gksrk gS% 455 = 42 × 10 + 35
vc Hkktd 42 vkSj 'ks"kiQy 35 ysdj] ;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx djus ij] gesa izkIr gksrk gS% 42 = 35 × 1 + 7
vc] Hkktd 35 vkSj 'ks"kiQy 7 ysdj] ;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx djus ij] gesa izkIr gksrk gS% 35 = 7 × 5 + 0
è;ku nhft, fd ;gk¡ 'ks"kiQy 'kwU; vk x;k gS rFkk ge vkxs oqQN ugha dj ldrsA ge dgrs gSa fd bl fLFkfr okyk Hkktd] vFkkZr~ 7 gh 455 vkSj 42 dk HCF gSA vki bldh lR;rk dh tk¡p 455 vkSj 32 osQ lHkh xq.ku[kaMksa dks fy[kdj dj ldrs gSaA ;g fof/ fdl dkj.k dk;Z dj tkrh gS\ bldk dkj.k ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe gS] ftlosQ pj.kksa dks uhps Li"V fd;k tk jgk gS% nks /ukRed iw.kk±dksa] eku yhft, c vkSj d (c > d) dk HCF Kkr djus osQ fy, uhps fn, gq, pj.kksa dk vuqlj.k dhft,% pj.k 1 : c vkSj d osQ fy, ;wfDyM foHkktu izesf;dk dk iz;ksx dhft,A blfy,] ge ,sls q vkSj r Kkr djrs gSa fd c = dq + r, 0 ≤ r < d gksA pj.k 2 : ;fn r = 0 gS] rks d iw.kk±dksa c vkSj d dk HCF gSA ;fn r ≠ 0 gS] rks d vkSj r osQ fy,] ;wfDyM foHkktu izesf;dk dk iz;ksx dhft,A pj.k 3 : bl izfØ;k dks rc rd tkjh jf[k,] tc rd 'ks"kiQy 0 u izkIr gks tk,A blh fLFkfr esa] izkIr Hkktd gh okafNr HCF gSA ;g ,YxksfjFe blfy, izHkko'kkyh gS] D;ksafd HCF (c, d) = HCF (d, r) gksrk gS] tgk¡ laosQr HCF (c, d) dk vFkZ gS c vkSj d dk HCFA mnkgj.k 1 :
4052 vkSj 12576 dk HCF
Kkr dhft,A
;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe dk iz;ksx djosQ
6
xf.kr
gy : pj.k 1 : ;gk¡ 12576 > 4052 gSA ge 12576 vkSj 4052 ij ;wfDyM izefs ;dk dk iz;ksx djus ij] izkIr djrs gSa% 12576 = 4052 × 3 + 420
pj.k 2 : D;ksafd 'ks"kiQy 420 ≠ 0 gS] blfy, ge 4052 vkSj izesf;dk dk iz;ksx djosQ fuEufyf[kr izkIr djrs gSa% 4052 = 420 × 9 + 272 u, 'ks"kiQy 272 dks ysdj
pj.k 3 : ge u, Hkktd 420 vkSj djosQ] fuEufyf[kr izkIr djrs gSa%
420 osQ
fy, ;wfDyM
;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx
420 = 272 × 1 + 148
vc] ge u, Hkktd 272 vkSj u, 'ks"kiQy 148 ij ;wfDyM izesf;dk dk iz;ksx djosQ izkIr djrs gSa% 272 = 148 × 1 + 124
vc] ge u, Hkktd 148 vkSj u, 'ks"kiQy 124 ij ;wfDyM foHkktu izesf;dk dk iz;ksx djosQ izkIr djrs gSa% 148 = 124 × 1 + 24
vc] ge u, Hkktd 124 vkSj u, 'ks"kiQy 24 ij ;wfDyM izefs ;dk yxk dj] izkIr djrs gS%a 124 = 24 × 5 + 4 4 dks ysdj
vc] ge u, Hkktd 24 vkSj u, 'ks"kiQy iz;ksx djosQ] izkIr djrs gSa%
;wfDyM foHkktu izesf;dk dk
24 = 4 × 6 + 0
;gk¡ 'ks"kiQy 0 izkIr gks x;k gSA blfy, izfØ;k ;gk¡ lekIr gks tkrh gSA pw¡fd bl fLFkfr esa Hkktd 4 gS] blfy, 12576 vkSj 4052 dk HCF 4 gSA è;ku nhft, fd HCF (24, 4) = HCF (124, 24) = HCF (148, 124) = HCF (272, 148) = HCF (420, 272) = HCF (4052, 420) = HCF (12576, 4052) gSA ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe u osQoy cM+h la[;kvksa osQ HCF ifjdfyr djus esa mi;ksxh gS] vfirq ;g blfy, Hkh egRoiw.kZ gS fd ;g mu ,YxksfjFeksa esa ls ,d gS] ftudk oaQI;wVj esa ,d izksxkz e osQ :i esa lcls igys iz;ksx fd;k x;kA fVIi.kh : 1. ;wfDyM foHkktu izefs ;dk vkSj ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe ijLij brus var£ufgr gaS fd yksx izk;% ;wfDyM foHkktu izefs ;dk dks gh ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe dgrs gSAa 2. ;|fi ;wfDyM foHkktu izesf;dk@,YxksfjFe dks osQoy /ukRed iw.kk±dksa osQ fy, gh
7
okLrfod la[;k,¡
fy[kk x;k gS] ijarq bls lHkh iw.kk±dksa ('kwU; dks NksM+dj vFkkZr b ≠ 0) osQ fy, ykxw fd;k tk ldrk gSA ;|fi] ge ;gk¡ bl rF; ij fopkj ugha djsaxsA ;wfDyM foHkktu izesf;dk@,YxksfjFe osQ la[;kvksa osQ xq.kksa ls lacaf/r vusd vuqiz;ksx gSaA ge bu vuqiz;ksxksa osQ oqQN mnkgj.k uhps ns jgs gSa% mnkgj.k 2 : n'kkZb, fd izR;sd /ukRed le iw.kk±d 2q osQ :i dk gksrk gS rFkk izR;sd /ukRed fo"ke iw.kk±d 2q + 1 osQ :i dk gksrk gS] tgk¡ q dksbZ iw.kk±d gSA gy : eku yhft, a dksbZ /ukRed iw.kk±d gS rFkk b = 2 gSA rc ;wfDyM foHkktu ,YxksfjFe ls] fdlh iw.kk±d q ≥ 0 osQ fy, a = 2q + r gS tgk¡ r = 0 gS ;k r = 1 gS] D;ksafd 0 ≤ r < 2 gSA blfy,] a = 2q ;k a = 2q + 1 gSA ;fn a = 2q gS rks ;g ,d le iw.kk±d gSA lkFk gh] ,d /ukRed iw.kk±d ;k rks le gks ldrk gS ;k fo"keA blfy, dksbZ Hkh /ukRed fo"ke iw.kk±d 2q + 1 osQ :i dk gksxkA mnkgj.k 3 : n'kkZb, fd ,d /ukRed fo"ke iw.kk±d gS] tgk¡ q ,d iw.kk±d gSA
4q + 1 ;k 4q + 3 osQ
:i dk gksrk
gy : vkb, ,d /ukRed fo"ke iw.kk±d a ysdj] iz'u dks gy djuk izkjaHk djsaA ge a vkSj b = 4 esa foHkktu ,YxksfjFe dk iz;ksx djrs gSaA p¡fw d 0 ≤ r < 4 gS] blfy, laHkkfor 'ks"kiQy 0, 1, 2 vkSj 3 gSaA vFkkZr~ a la[;kvksa 4q, 4q + 1, 4q + 2 ;k 4q + 3 osQ :i dk gks ldrk gS tgk¡ q HkkxiQy gSA pw¡fd a ,d fo"ke iw.kk±d gS] blfy, ;g 4q vkSj 4q + 2 osQ :i dk ugha gks ldrk (D;ksafd nksuksa 2 ls foHkkT; gSa)A blfy,] dksbZ Hkh /ukRed fo"ke iw.kk±d 4q + 1 ;k 4q + 3 osQ :i dk gksxkA mnkgj.k 4 : ,d feBkbZ foozsQrk osQ ikl 420 dktw dh c£iQ;k¡ vkSj 130 cknke dh c£iQ;k¡ gSaA og budh ,slh
